πολύγωνο

Αν Α₁ Α₂,..., Α_ν, Α_ν (όπου ν = 2, 3,...) είναι σημεία του χώρου, τέτοια, ώστε κάθε τρία τους να μην ανήκουν στην αυτή ευθεία, τότε η τεθλασμένη γραμμή, που αποτελείται από τα ευθύγραμμα τμήματα Α₁Α₂, Α₂Α₃, ..., Α_ν + 1 λέμε ότι είναι μια πολυγωνική γραμμή. Η γραμμή αυτή λέγεται κλειστή, αν τα σημεία A₁, Α_ν + 1 συμπίπτουν. Αν τα προηγούμενα σημεία ανήκουν στο αυτό επίπεδο, τότε η πολυγωνική γραμμή λέγεται επίπεδη. Έστω Α₁ Α₂... Α_ν Α, μια επίπεδη κλειστή πολυγωνική γραμμή με την επιπλέον υπόθεση ότι καθένα από τα ευθύγραμμα τμήματα A₁A₂, A₂A₃,..., A_νA₁ έχει κοινά σημεία μόνο με τα «συνεχόμενά» του [λ.χ. το Α₄Α₅ με το Α₃Α₄, το Α₄, και με το Α₅Α₆, το A₅]· τότε η πολυγωνική γραμμή A₁A₂ Α_νΑ, περικλείει ένα μέρος του επιπέδου, που ονομάζεται πολύγωνο και, πιο συγκεκριμένα, ν-γωνo, εκτός αν είναι ν = 4, που ονομάζεται τετράπλευρο [και όχι τετράγωνο, που είναι ένα ειδικό τετράπλευρο]. Καθένα από τα σημεία Α₁,Α₂, ..., Αν λέμε ότι είναι μια κορυφή του π., καθένα από τα τμήματα A₁A₂, A₂A₃,..., A_νA₁ μια πλευρά του και η πολυγωνική γραμμή A₁A₂... Α_νΑ₁ η περίμετρος του (είτε: το σύνορό του). Ένα ν-γωνο λέγεται κυρτό, αν για κάθε πλευρά του ισχύει το εξής: όλες οι κορυφές του ν-γώνου, εκτός από τις δυο της θεωρούμενης κάθε φορά πλευράς, ανήκουν στο ένα από τα δυο μέρη, που χωρίζει το επίπεδο του ν-γώνου η ευθεία, τμήμα της οποίας αποτελεί και η θεωρούμενη πλευρά. Κάθε κυρτό ν-γωνο έχει ν εσωτερικές γωνίες, που κάθε μια τους είναι μικρότερη από δυο ορθές. Το άθροισμα αυτών των γωνιών είναι 2_ν-4 ορθές. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει για άκρα του δυο κορυφές του ν-γώνου και δεν είναι πλευρά του, λέμε ότι είναι μια διαγώνιος του. Κάθε ν-γωνο με v>3 έχει 1/2 ν (ν - 3) διαγώνιους· από κάθε κορυφή του περνούν ν-3 από αυτές και το χωρίζουν σε ν-2 τρίγωνα. Έτσι το 6 - γωνο έχει: 1/2 6 . (6 - 2) = 9 διαγώνιους, από κάθε κορυφή του περνούν 6 -3 = 3 διαγώνιες και το χωρίζουν σε 6 - 2 = 4 τρίγωνα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το κυρτό κανονικό ν-γωνο, δηλαδή εκείνο, που οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους (ισόπλευρο)· κάθε τέτοιο ν - γωνο, έχει και τις γωνίες του ίσες μεταξύ τους και, επομένως, κάθε μια τους είναι ορθές. Π.χ. κάθε γωνία κανονικού 6-γώνου είναι ορθ. =120°, επίσης κάθε γωνία κανονικού τετράπλευρου, δηλ. τετράγωνου, είναι 2 . 4 - 4/4 = 1 ορθ. Κάθε κανονικό ν-γωνο είναι εγγράψιμο, αλλά και περιγράψιμο σε κύκλο· οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι και το κοινό τους κέντρο ονομάζεται κέντρο του ν-γώνου. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του ν-γώνου ονομάζεται ακτίνα του ν-γώνου, ενώ η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου ονομάζεται απόστημα του ν-γώνου. Αν Ο είναι το κέντρο κανονικού ν-γώνου και A_iA_i+1 τυχούσα πλευρά του, τότε η γωνία A_iOA_i+i είναι η αυτή για κάθε i = 1, 2,..., ν, ονομάζεται: κεντρική γωνία του ν-γώνου και είναι ίση με 4/ν ορθές. Λ.χ. η κεντρική γωνία του κανονικού 6-γώνου είναι 4/6 = 2/3 ορθ. = 60°. Αν αν είναι το μήκος της πλευράς κανονικού ν-γώνου, α το απόστημα του, ν η ακτίνα του «περιγεγραμμένου» του κύκλου, τότε είναι: μήκος περιμέτρου του ν-γώνου = ν - α_ν, εμβαδόν του ν-γώνου = ν _1/2 α_ν . α = 1/2 . α . (μήκος περιμέτρου) και: [από το πυθαγόρειο θεώρημα]. Ο λόγος α/α_ν, του αποστήματος προς την πλευρά του κανονικού ν-γώνου εξαρτάται από το ν. Για ν = 5,6,8,10 έχουμε τις εξής –κατά προσέγγιση– τιμές του λόγου α/α_ν: 0.688, 0.866, 1.207, 1.539 (αντίστοιχα). Το πρόβλημα της κατασκευής ενός κανονικού ν-γώνου, όταν είναι σωστή η ακτίνα, r, του «περιγεγραμμένου» του κύκλου είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα της διαίρεσης του κύκλου σε ν–ίσα μέρη. Ο Γκάους απόδειξε ότι τα μόνα κανονικά ν-γωνα, που μπορεί να κατασκευαστούν με τον κανόνα και το διαβήτη (μόνο) είναι εκείνα, που ο ν είναι γινόμενο μιας δύναμης του 2 επί αριθμό πρώτο της μορφής 2^Κ+1, όπουο κ είναι δύναμη του 2. Οι πρώτοι αριθμοί αυτής της μορφής, που είναι μέχρι σήμερα γνωστοί, είναι οι: 3, 5, 17, 257, 65537 (για κ = 1, 2, 4, 8, 16). Έτσι, λ.χ., το κανονικό 7-γωνο δεν κατασκευάζεται με μόνο κανόνα και διαβήτη. Στις περιπτώσεις ν = 3, 4, 5, 6, 10 υπολογίζεται ότι, αν r είναι η ακτίνα του «περιγεγραμμένου» κύκλου στο αντίστοιχο πολύγωνο, τότε η πλευρά του δίνεται από τον τύπο: α3 = r√3, α4 = r√2, α5 = 1/2 r√10) - 2 √5, α6 - r, α10 = 1/2 r (√5-1). Είναι αξιοπαρατήρητο ότι ισχύει: α52 = α62 + α102. Ειδικά για την κατασκευή της πλευράς του κανονικού 5-γώνου και του κανονικού 10-γώνου, που εγγράφονται σε κύκλο με ακτίνα r μπορεί να γίνει η εξής κατασκευή (Σχ.): χαράσσουμε δυο διαμέτρους AOB και COD του κύκλου (Ο, r), σημειώνουμε το μέσο, Ε, του τμήματος AO και παίρνουμε EF = EC. Τότε το τμήμα OF είναι η πλευρά του κανονικού 10 -γώνου και το τμήμα CF η πλευρά του κανονικού 5 - γώνου, που εγγράφονται στον κύκλο (O,r).

* * *

το / πολύγωνον, ΝΜΑ

βλ. πολύγωνος.